Trong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấn đề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo đượccủa không gian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đích này theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi là mở rộng Kolmogorov.

Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng Gelfand-Naimark-Segal.

Điều này giống như là hai cách tiếp cận lý thuyết độ đo và tích phân, khi người ta có chọn lựa xây dựng độ đo trên các tập hợp trước và định nghĩa tích phân sau đó, hay là xây dựng các tích phân trước và định nghĩa độ đo tập hợp như là tích phân của các hàm số đặc trưng.

Phép mở rộng Kolmogorov

Phép mở rộng Kolmogorov được diễn đạt theo quá trình sau: giả sử một độ đo xác suất trên không gian của các hàm số f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} tồn tại, thì nó có thể được sử dụng để chỉ ra phân bố xác suất liên kết của các biến ngẫu nhiên hữu hạn chiều f ( x 1 ) , … , f ( x n ) {\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})} . Bây giờ, từ phân bố xác suất n-chiều này ta có thể suy ra một phân bố xác suất biên (n − 1)-chiều cho f ( x 1 ) , … , f ( x n − 1 ) {\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})} . Chú ý rằng điều kiện tương thích hiển nhiên, rằng phân bố xác suất biên này là cùng loại với phân bố được suy ra từ quá trình ngẫu nhiên, là không cần thiết. Một điều kiện như vậy là đúng, ví dụ, nếu như quá trình ngẫu nhiên là quá trình Wiener (trong trường hợp này các phân bố biên là tất cả các phân bố gaussian của loại hàm mũ) nhưng không tổng quát cho tất cả các quá trình ngẫu nhiên. Khi điều kiện này được biểu diễn dưới các hàm mật độ xác suất, kết quả được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.

Định lý mở rộng Kolmogorov bảo đảm sự tồn tại của một quá trình ngẫu nhiên với một họ của các phân bố xác suất hữu hạn chiều thỏa mãn điều kiện tương thích Chapman-Kolmogorov.

Tính khả ly, hay là thứ mà phép mở rộng Kolmogorov không cung cấp

Nhớ lại rằng, trong hệ tiên đề Kolmogorov, các tập hợp đo được là các tập có xác suất, hay nói các khác, là các tập hợp liên quan tới các câu hỏi có/không có một câu trả lời mang tính xác suất.

Phép mở rộng Kolmogorov bắt đầu bằng các tuyên bố rằng để gọi là đo được tất cả các tập hợp hàm số với hữu hạn tọa độ [ f ( x 1 ) , … , f ( x n ) ] {\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]} được giới hạn nằmg trong các tập con đo được của Y n {\displaystyle Y_{n}} . Nói một cách khác, nếu một câu hỏi có/không về hàm số f có thể được trả lời bằng cách xem xét các giá trị của nhiều nhất là hữu hạn tọa độ, thì nó có một câu trả lời mang tính xác suất.

Trong lý thuyết độ đo, nếu chúng ta có một họ vô hạn đếm được của các tập hợp đo được, thì hợp và giao của chúng là một tập đo được. Cho mục đích của chúng ta, điều này nghĩa là các câu hỏi có/không phụ thuộc vào bao nhiêu tọa độ đếm được mà chúng ta có câu trả lời xác suất.

Điều khả quan là phép mở rộng Kolmogorov làm chúng ta có thể xây dựng một quá trình ngẫu nhiên với các phân bố hữu hạn chiều khá là tùy ý..